Essa expressão é utilizada para indicar que alguém está quieto, sem falar.
Exemplo:
Você não vai falar nada não? O gato comeu sua língua?
Mas por que dizemos isso? Alguma vez um gato realmente já comeu a língua de alguém, ou ao menos chegou a morder e a pessoa ficou sem conseguir falar?
Eu sabia que essa não era uma expressão portuguesa já que há também em inglês cat got your tongue mas vendo sua pergunta fui procurar e encontrei esta página.
Basicamente, ela diz que a origem formal é desconhecida mas sugere estar ligada ao ato de certos reis cortarem as línguas de certos condenados e darem-nas de comer aos animais... ou a atos de inquisição nos quais se cortavam as línguas às bruxas, dando de comer aos seus familiares (familiar = animal místico das bruxas).
A expressão inglesa aponta mais neste sentido = "O gato ficou com sua língua.
Procurei no Google Books, e o exemplo mais antigo que encontrei da expressão é de 1959 (meu negrito em todas as citações):
Como se pode ver, em contexto, a expressão é imediatamente compreensível: se o gato tivesse comido a língua, a pessoa não poderia falar. Naturalmente a pergunta é retórica, e o absurdo de um gato ter comido a língua à pessoa contribui para o tom jocoso da expressão.
Agora podemos perguntar: porquê um gato e não outro animal? Provavelmente com razão, os gatos ganharam fama de ladrões. Gatuno (Aulete) vem de gato por via do castelhano (ver gatuno na Real Academia Espanhola); gato (Aulete 10) é também usado com o sentido de ‘ladrão’; e no Brasil usa-se mesmo a expressão o gato comeu relativamente a coisas que desapareceram sem explicação, como explicado no Portuguese-English Dictionary de James L. Taylor (1970).
O gato comeu sua língua pode até ter começado por ser um uso especializado de o gato comeu. Encontramos expressão o gato comeu, ou a ideia em que se baseia, numa lengalenga infantil:
Cadê o toicinho que estava aqui? — O gato comeu. — Cadê o gato? — Foi pró mato. — Cadê o mato? [Continua]
Esta lengalenga está atestada já em 1880 (Revista Brazileira):
O final disto todos conhecem: consiste em fazer cócegas pelo braço acima, perguntando pelo toucinho que estava na palma da mão, e que o o gato comeu e foi fugindo, etc.
E neste outro livro de 1897, uma cozinheira atribui ao gato a culpa pelo desaparecimento da manteiga:
