Sinhá comes from Senhor/a (Sir). Today it's not used any anymore, but it's related, as you said, to the slave owner or somebody rich.
In this case, Sinhá has not a meaning but it's a name. Sinhá is the name of the bird. I think it's the same construction you can see in Father John, for example.
Of course, the name wasn't chosen by chance or it wouldn't make sense in a fable. The Wikipedia topic helps to understand what it means:
Pode-se dizer que o livro trata, metaforicamente, das diversas
relações e situações de cunho sócio-cultural existentes, não só
baianas, como brasileira e até mesmo mundial durante a primeira metade
do século XX; até mesmo antes dessa época e ainda hoje existentes.
'Baianamente' lembra-se do Elevador Lacerda, que divide e une ao mesmo
tempo o Alto e o Baixo da cidade de Salvador. O Gato, no plano baixo,
não pode voar e se dar a certos luxos. Em contraponto, a Andorinha
vive sobre os demais bichos, tendo um privilégio dado pelo berço, seu
lugar de origem.
It's a book about socio-cultural relationships. You have the high and the downtown. The cat lives in downtown and can't afford to achieve the high places.
The bird is named "Sinhá" because her birth right allows her to live high above in the skies, above all the other animals, just like a "sinhá" is above the slaves or the poor.
