Acho que estás a confundir usos diferentes de _já_. A posição de _já_ é importante:

> (1) Já faço/vou fazer isso.  
> (2) Vou fazer isso já.

As frases (1) não significam que vais executar a ação imediatamente. Significa que neste momento estás ocupado, mas que «em breve» atendarás a essa tarefa. Na frase (2), _já_ está numa posição mais saliente. Indica que executarás a ação num futuro muito próximo, por oposição a uma outra qualquer altura. Se repetirmos _já_, a ideia de brevidade é ainda mais reforçada.

A frase (2) seria mais idiomática com _agora_ ou com _já_ depois do auxiliar (ou, talvez não tanto, depois de _fazer_):

> (3) Vou fazer isso agora.  
> (4) Vou já fazer isso.

Apesar de ser mais idiomática, em termos de significado (4) está algures entre (1) e (2), por isso a melhor opção para transmitir o significado de (2) é (3). Considera o seguinte diálogo, onde a diferença quase se anula, devido à primeira oração:

> A: O jantar está pronto. Vem para a mesa.  
> B: Estou só a acabar um e-mail, vou já/já vou [ir para a mesa]!  
> A: Vem já!

Na última frase, _já_ tem o sentido de (2), mas na anterior o de (1), a versão com _já_ no final assinalando um (relativo) maior grau de comprometimento.

Se usássemos _agora mesmo_ teríamos um significado semelhante a _já, já_.

_Logo_ tem um significado bastante diferente neste contexto; na frase que deste não significa _imediatamente_; pelo contrário, significa _mais tarde_. Também temos duas possibilidades de colocação:

> (5) Logo faço isso.  
> (6) Faço isso logo.

A diferença é semelhante àquela entre (1) e (2). A frase (5) indica que estás ocupado ou não te queres chatear num futuro próximo, mas prometes que executarás a tarefa num futuro relativamente distante, mas não muito (dali a uma horas ou quando muito dias). (6) põe em destaque a altura em que vais executar a tarefa; executá-las _mais tarde_, não _agora_.