_Haviam muitos problemas_ não está correto em português padrão porque, no sentido de _existir_, _haver_ é impessoal transitivo; _muitos problemas_ é portanto um complemento direto e não um sujeito de _haver_ e não há concordância.

Uma indicação de que _muitos problemas_ é complemento direto é o facto de que _muitos problemas_ pode ser substituído por um pronome clítico acusativo. Compara as seguintes frases:

> Havia muitos problemas, mas agora já não os há.  
> Existiam muitos problemas, mas agora (eles) já não existem.

Nota que o facto de _haver_ ser impessoal não significa que orações impessoais não tenham sujeito, simplesmente esse sujeito é expletivo e não é um argumento do verbo. Sendo o português uma língua de sujeito nulo, este sujeito não tem geralmente expressão, contrariamente ao inglês (_it rains_). Se ocorrer, como pode acontecer em contextos enfáticos, será sempre _ele_:

> Ele havia muitos problemas.

Segundo a _Gramática do Português_ da Gulbenkian (pág. 1194), este estatuto de _haver_ como impessoal transitivo não era contudo consensual em fases anteriores da língua (e, discutivelmente, não o é também hoje em dia); por exemplo [escreveu Machado de Assis][1]:

> ali haviam vários deputados que conversavam de política.

Há também dialetos em que _haver_ concorda com o argumento (idem, pág. 133):

> O verbo _haver_ tem, em alguns dialetos, um comportamento sintático diferente daquele que tem no português-padrão; esse comportamento consiste em apresentar flexão, na 3.ª pessoa do plural, no seu emprego como verbo existencial, como mostram os exemplos (57), registados em dialetos setentrionais e nos Açores [nota de rodapé: À exceção do presente do indicativo, a flexão da 3.ª pessoa do plural deste verbo ocorre, inclusivamente, na produção de falantes do dialeto-padrão (sobretudo em _haviam_, _houveram_, _haveriam_).]:

> (57) a. Aquelas canas grandes de pôr no feijão? Aqui não _hão_, não _hão_. (ALEPG, Cesar, Aveiro)  
>        b. (A propósito dos caches das madressilvas): Eu já tive aqui. [...] _Hão_ singelos e _hão_ dobrados. (ALEPG, Cesar, Aveiro)   
>        c. Mas também _hão_ vacas arraianas. (ALEPG, Válega, Aveiro)  
        d. As forquilhas que _hão_ por aqui... (ALEPG, Castelo de Neiva, Viana do Castelo)  
        e. _Hão_ cabras que andem com ovelhas e _hão_ cabras que andem só cabras. (ALEPG, Ponta Ruiva, Flores, Açores)  
        _[restantes exemplos omitidos]_


  [1]: http://www.sinergia-spe.net/editoraeletronica/autor/006/00601500_4.htm