Barriga
Em geral é o termo mais usado, sobretudo em um contexto coloquial, embora não seja necessariamente informal. Aparece em expressões como "de barriga cheia", "de barriga para baixo", etc. Acho que é seguro dizer que, quando em dúvida sobre qual usar, "barriga" é uma boa opção.
Pança
Segundo o Wikicionário, "pança" em primeiro lugar se refere a um dos estômagos de ruminantes como o boi. Por extensão, é uma palavra para se referir a uma barriga grande, e em geral possui conotação jocosa ou pejorativa. Não se usa "pança" para se referir a barrigas normais em geral; pode-se encontrá-la ocasionalmente em expressões como "de pança cheia".
Abdômen
É um termo em geral mais técnico, usado por médicos ou para se referir aos músculos da barriga, por exemplo para falar de exercícios ("vou fazer abdominais", "os músculos da região abdominal", etc.). Não é comum encontrá-la em contextos como "estou de abdômen cheio" (para dizer que se comeu demais), por exemplo. Também é usado em contextos biológicos, significando "parte posterior dos insetos e de outros articulados".
Ventre
É provavelmente a mais raramente usada das quatro. Em geral, usa-se para falar:
- da dança do ventre;
- da prisão de ventre;
- para se referir à gravidez ("no ventre da mãe");
- e em literaturas antigas, como textos bíblicos (com exceção das traduções mais modernas), como em "Eis que (...) seu poder está nos músculos de seu ventre" ou "... sobre o teu ventre rastejarás ...").
Mas em si, ventre significa "barriga". E também "útero", no caso do sentido maternal.
