Vejamos as seguintes frases:
"Pensei que o seu aniversário era hoje." x "Pensei que o seu aniversário fosse hoje."
"Pensei que ela era sua irmã" x "Pensei que ela fosse sua irmã."
Estão ambas as construções corretas? Há alguma diferença semântica? São perfeitamente intercambiáveis? Bem aceitas em qualquer registro?
As duas formas estão corretas. Um exemplo muito semelhante já foi discutido no Ciberdúvidas: '«Pensei que fosse/era»: o modo das completivas selecionadas por verbos epistémicos':
Enquanto verbos de orações completivas verbais de complemento/objeto direto — «que fosse», «que era», «que o filme era mais comprido», «que o filme fosse mais comprido» —, selecionadas por um verbo epistémico («Pensei»), a norma seleciona «o modo indicativo» (...) mas, por outro lado, também «é possível a ocorrência do modo conjuntivo mesmo quando a frase superior não é negativa (...) o que se pode observar através dos seguintes exemplos:
«Os estudantes pensavam que podiam repetir a prova.»
«Penso que ele ainda está na faculdade a esta hora.»
«Penso que ele ainda esteja na faculdade a esta hora.»
Portanto, uma vez que nos encontramos perante um caso «em que existe opção entre indicativo e conjuntivo, a seleção do modo conjuntivo exprime maior distância do locutor relativamente à verdade do conteúdo proposicional da frase completiva».
Ou seja, dito de outra forma: sempre que estamos presente uma oração subordinada substantiva completiva de complemento/objeto direto, isto é, orações do tipo:
(caracterizadas pelo facto de a oração subordinante servir a função de objeto direto a um verbo transitivo e poder facilmente ser substituída por um pronome, como demonstrado nos exemplos acima), e em que, na oração subordinante é utilizado um verbo epistémico (saber, pensar, achar, acreditar,...), tanto o uso do do modo indicativo (no seu exemplo, 'era') como do conjuntivo ('fosse') estão gramaticalmente corretos.
A diferença, como destacado no link que referenciei, está no facto de o modo conjuntivo (como em 'fosse') exprimir maior distância do locutor em relação àquilo que é dito (pelo que pode ser considerado mais adequado, por exemplo, em contexto formal). Já o modo indicativo é muito mais usado em contexto de fala espontânea/casual.
Por isso, acho que a resposta à sua pergunta é mesmo a seguinte: ambas as formas são corretas, e o uso de uma ou outra dependerá sempre do contexto/registo de utilização. Num contexto mais formal, o modo conjuntivo será, por norma, o mais indicado.
Nota: A exceção é quando, apesar de ser utilizado um verbo epistémico (saber, pensar, achar,...), está presente na frase uma negação na oração subordinante, como referido no mesmo link:
(...) A única situação, com os verbos epistémicos, «que pode determinar ocorrência obrigatória de conjuntivo na completiva» é quando há «a presença de negação frásica na frase superior» [oração subordinante], como se pode observar nos seguintes exemplos:
«Não penso que ele chegue a tempo do jantar.»
«Não penso que ele *chega a tempo do jantar.» (*agramatical)
