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Quando falamos de um número elevado ao quadrado, falamos desse número multiplicado por si (3 ao quadrado é 3x3), e quando falamos da raiz quadrada de um número, falamos do número que ao quadrado é igual àquele, primeiro, número (a raiz quadrada de 9 é 3 porque 3x3 = 9).
Mas por que dizemos (elevado) ao quadrado e raiz quadrada? Isto é, inclusive, semelhante ao inglês, square root e squared. Se condisser, por que falamos (elevado) ao cubo e raiz cúbica?
Eu encontrei a papinha praticamente toda feita neste Why the name “square root”? no SE Mathematics.
Estes termos matemáticos vieram-nos do latim, e no latim a inspiração deste quadrado veio da geometria. Tanto, que também se usou latus (’lado’) em vez de radix (’raiz’)! Aliás, radix era só raiz de planta, e só adquiriu o sentido matemático quando foi usado para traduzir o árabe jadhr. Cito Solomon Gandz (“On the origin of the term ‘root,’” The American Mathematical Monthly, 1926; minha tradução):
“Obras Latinas traduzidas do árabe têm radix como termo comum, enquanto as herdadas da civilização romana têm latus.” [Smith, History of Mathematics] Radix (“raiz”) é o árabe jadhr, enquanto latus [...] é o lado do quadrado geométrico.
O matemático português Pedro Nunes, (Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria, 1567) também usou lado quadrado (ele escreveu isto em espanhol; no link têm a figura; negrito meu):
Sean las dos lineas a.b y b.c lados quadrados o raizes de dos numeros conocidos, las quales lineas juntas consituyen la linea a.c que de entrambas es compuesta. Y queremos por la dicha Regla saber de que quantidad essa linea a.c es lado quadrado, a que al presente llamamos raiz.
Agora, porquê o latim radix? Solomon Gandz argumenta que os doutores medievais europeus traduziram mal o árabe jadhr. É verdade que este termo significava ’raiz’ no sentido botânico; mas significava também ’base’ e ’fundação’, que segundo ele seriam os significados relevantes no sentido matemático.
Isto já se afasta muito da língua portuguesa, e eu não sei se compreendi bem o pensamento dos matemáticos árabes medievais, mas ao que me pareceu, eles concebiam a área dum quadrado (ou retângulo) como o produto de um lado por uma unidade quadrada, produto este que constituiria o tal jadhr ou base quadrada, multiplicado pelo outro lado. Eu imagino isto assim. Suponhamos que a nossa unidade quadrada é um metro quadrado, e que queremos medir um terreno quadrado. Eu imagino o jadhr ou base quadrada como uma tira de um metro de largura ao longo de um dos lados do terreno, que seria depois multipicads pelo comprimento do outro lado. Solomon Gandz num artigo posterior (“On the origin of the term ‘root.’ Second article,” The American Mathematical Monthly, 1928), explica que isto poderá ser uma reminiscência da prática egípcia já em 1600 AC, que usavam como unidade básica de medida de terrenos tiras de um por cem cúbitos.
