Com artigo definido (e.g., "o quarto bolo") eu diria que se entende o numeral como sendo ordinal ("4ᵒ") e não como fracionário ("¼"), então aqui pede-se o artigo indefinido e também a preposição "de": "um quarto do bolo", para indicar "1/4 bolo". Uma exceção é quando as partes são iguais numericamente mas não qualitativamente e, portanto, são distinguíveis, e.g., "o quarto mais velho da população" — embora "os 25% mais velhos da população" seja provavelmente mais claro.
"Meio" é um caso especial, ele admite o uso que você sugere ("meio bolo" é claramente "1/2 bolo"), mas mesmo ele tem outro significado quando precedido pelo artigo definido "o": "o meio" parece indicar o ponto central (embora "a metade" seja claro).
- Terça maçã está boa, terça [maçã] está estragada e terça [maçã] está comida.
Me soa muito estranho usar "terço" dessa forma (que eu diria que apenas com "meio" funcionaria). Eu usaria "um terço (da)" ao invés de "terça", ou então "uma terça parte (da)".
- Os três quintos quartos estão arrumados, o resto está de um porco.
Não vejo como entender "quintos quartos", ou se fala de quintos ou de quartos ou de "três quintos de um quarto" (igual a três vinte avos, 3/20). Ou, como comenta o ANeves, são os 5ᵒˢ quartos (um por andar) de um prédio com 3 andares.
- Eu quero comprar um cano com três meios de largura deste.
Não é uma maneira usual de expressar que você quer um cano 50% maior, mas funciona, e a única correção que eu sugeriria é "de" -> "da" e, talvez, "diâmetro" ao invés de "largura".
- Ele ficou com cinco quartas heranças e eu fiquei com uma!
É preciso um contexto complicado para essa frase estar correta. Por exemplo, tomando "quarto" como ordinal ao invés de fracionário, talvez essas duas pessoas, A e B, tenham 6 tios-avós, cada um com 4 filhos, todos deixando heranças para A e B; quando o último filho de cada tio-avô morre (i.e., o quarto do ramo a morrer), ele deixa para A ou B a "quarta herança" desse ramo da família — então em cinco desses casos a herança ficou com B ("ele") e em apenas um, com A ("eu").
Sem esse contexto de 24+ heranças, a correção mais direta seria "cinco quartas heranças" -> "cinco quartos da herança", mas ela não funciona aqui, pois o total da herança tem apenas quatro quartos. Outra correção, mas que muda bastante a frase, é "cinco quartas heranças" -> "quatro quintos da herança".
- Vocês ganham (o/um) sexto lucro.
O correto me parece "um sexto do lucro". Um contexto em que a frase poderia fazer sentido com "o sexto lucro" é um em que "sexto" é ordinal, há tipos diferentes de lucro (financeiro, emocional, social, etc.) e a palavra "tipo" fica implícita na frase.
