Sim, os verbos rir e explodir têm conjugação em todas as formas verbais.
Os verbos que só têm conjugação em algumas formas chamam-se verbos defectivos. (Um exemplo é o verbo chover.)
Expludo de riso sempre que vejo Porta dos Fundos! Rio-me até cair para o lado...
Ris-te porquê? Acho que os vídeos deles têm imensa "falta de chá"...
Este uso é ainda confirmado por Eça de Queiroz no seu livro de 1888 Os Maias (página 416):
[...] Eu ainda outro dia dizia ao Neves: «O Ega! O Ega é que era, para atirar ali na câmara a piadinha à Rochefort. Ardia Troia!»
E imediatamente, enquanto Ega ria, contente [...]
E para explodir podemos até escolher entre duas versões: expludo, como neste exemplo do escritor mineiro Manoel Lobato,

E explodo, como em A Fugitiva de Carlos Drummond de Andrade (ênfase minha):
― Daqui vocês não me tiram ― respondeu-lhes a bomba. ― O primeiro que me tocar, eu explodo. Talvez este tempo de verbo não exista, mas pouco estou ligando à gramática de vocês. À gramática e ao resto. Estou farta! Farta!