O kit é um neologismo da lingua Inglesa cujo uso se tornou muito comum na língua Portuguesa a partir da segunda metade da primeira década de 2000. O uso da palavra kit tornou-se tão vulgarizado que se aplica de forma corrente a quase tudo.
Depois a preposição de por contração (a contração é processo normal na gramática) pode aparecer contraído sem a vogal e ligado ao substantivo por uma apóstrofe.
Finalmente, se quiser saber a origem da utilização da expressão "kit de unhas" ou da forma contraída "kit d'unhas" pode pesquiser no google usando aspas e ordenar por data.
Fiz a pesquisa no google, e parece que as primeiras utilizações -da forma contraída- foram no mundo dos desportos motorizados por volta de 2005. A primeira ocorrência no google foi num fórum Português de desportos motorizados. Pode usar a pesquisa aqui: ver no google
O sentido da expressão é a palavra "unhas" em Portugal poder ser cordialmente usada como sinónimo de saber conduzir bem um carro (no sentido de: "ter unhas para segurar o volante"). Juntamente com o uso da palavra kit ser muito vulgarizada no mundo automóvel para denominar um conjunto de peças -habitualmente vendido em conjunto- para modificar veículos motorizados.
Foi o caso de juntar um neologismo corrente, com um sinónimo bem humorado, e fazer a contração da preposição que une as duas palavras. O valor humorístico reside em obrigar o ouvinte a pensar no sentido da expressão, remetendo para encontrar a semântica algo rebuscada do sinónimo unhas, dado não ser d'uso frequente.
Será este o sentido para além do mais óbvio que seria um conjunto de acessórios para manicure.