TL;DR
Ambas frases estão corretas a depender do contexto.
Explicações
"Quem tem boca vaia Roma"
É sabido por muitos que alguns imperadores tiveram algumas crises durante suas vidas, exemplo:
- Calígula, o "pervertido";
- Cláudio, o "paranoico"; e
- Nero, o "incendiário".
Por isso, de acordo com o escritor Elio Marchand, no livro Quebrando O Código Da Bíblia, o correto é "vaia Roma", pois essa era uma forma de convidar o povo ao protesto, que na ocasião era representado pelas "vaias".
Encontramos também essa expressão na música Quem tem boca vaia Roma, do César MC.
Contra injustiça, minha alma berra
Até que a própria justiça retorne à terra.
Venci as batalha, pois nasci na guerra
E quem tem boca vaia Roma
Quem tem peito enfrenta o César!
Nesta canção, ele usa o ditado com o verbo vaiar para informar aos ouvintes que todos podem criticar e enfrentar um governo ou um sistema (de modo geral).
"Quem tem boca vai a Roma"
Ao que tudo indica, este é o ditado original, possivelmente do século XVII. No livro "Portuguese and English: and English and Portuguese ... in Two Volumes, Volume 1", lançado em 1773, encontramos a seguinte explicação para esse ditado:
(Original) that is, a man may go any where if he has language to speak for himself, and all the way
(Tradução) isto é, um homem pode ir a qualquer lugar se tiver linguagem para falar por si mesmo e por todo o caminho
Na peça de teatro "Farça Intitulada Manoel Mendes" (1812), também encontramos a expressão com o verbo "ir" no presente do indicativo
“Se quem tem boca vai a Roma, V.m. pela grandeza da sua póde ir ao fim do Mundo...”
Além da língua portuguesa, podemos encontrar o ditado noutros idiomas:
- Em Italiano, chi lingua ha, a Roma va
- Em Francês, qui langue a, à Rome va
- Em Espanhol, preguntando se va a Roma
- Em Tcheco, kdo jazyk má, do Ríma se doptá
Variações
Também é possível deparamos-nos com algumas variações em português.
- Quem tem língua vai a Roma
- Quem língua tem a Roma vai e de Roma vem
- Quem tem língua a Roma vai e vem
Fonte e Referências:
https://github.com/valdeir2000/pt-br/blob/master/answers/6235.md