São essencialmente a mesma coisa quando usados como verbos copulativos. Virar é mais usado no Brasil. Em Portugal, quando é usado, é-o em contextos mais informais, enquanto tornar-se pode ser usado em todos os registos.
Em termos de significado, virar parece-me transmitir uma ideia de transformação mais abrupta (com menos duração) do que tornar-se. Em Portugal, tende também a ser usado em frases mais curtas, sem determinante no predicado (a lagarta virou borboleta).
Podemos encontrar vários exemplos de virar em texto jornalístico português (citações do CETEMPúblico):
A primeira impressão é que Bobby McFerrin virou baterista.
Évora virou «laranja», com os sociais-democratas a tornarem-se nos mais votados neste círculo alentejano.
Mais um velho caso em que o provisório virou definitivo, ou seja, a escola consiste em pavilhões pré-fabricados postos na Amora para servirem durante um ano, mas que resistem há nove.
A expressão «cair na real» virou uma expressão «clássica» no Brasil para dizer algo assim
Como podes ver, além de sintagmas nominais, temos adjetivos seguindo-se ao verbo, o que é normal nos verbos copulativos.