Nos teus exemplos é sempre que, nunca quê, e não há problema nenhum com o que:
O que você está fazendo?
O que é que você está fazendo?
Vejamos as questões uma a uma.
“Que” versus “Quê”
Existe o substantivo quê, mas não tem função interrogativa. Usamo-lo para referir algo que não conseguimos explicar ou definir bem. Vejamos o que diz o Aulete:
2. Alguma coisa; qualquer coisa: Ela tem um quê de mistério: Ele tem alguns quês que me desagradam.
Depois existem os pronomes interrogativos que e quê. Semanticamente são a mesma coisa. A diferença é que usamos quê no fim de frase e que no meio ou princípio para refletir a entoação das frases:
O que você está fazendo? versus Você está fazendo o quê?
Por que não dizes nada? versus Não dizes nada por quê?
De que te queixas? versus Queixas-te de quê?
No fim de frase o pronome interrogativo é tónico, é pronunciado com ênfase especial; por isso é quê e não que. No meio ou princípio da frase é átono, não recebe ênfase especial. Esta diferença já foi discutida nesta pergunta sobre por que amanhã versus por quê amanhã. No português europeu existe uma diferença adicional entre que e quê, que facilita tudo. Enquanto no Brasil, que e quê são ambos pronunciados /ke/, em Portugal quê é também pronunciado /ke/ (podem ouvir portuguese e brasileiros no Forvo), mas que é /kɨ/ (ouçam o usuário aimae no Forvo).
“Que” versus “O que”
Nos exemplos anteriores, o interrogativo que significa ‘que coisa’ e é por isso chamado pronome substantivo. Noutros casos, significa aproximadamente ‘que espécie de’ e é por isso chamado pronome adjetivo:
Que mal te fiz eu?
Que negócio é esse?
Que filme queres ver?
Este que pronome adjetivo não pode ser substituído por o que: não se pode dizer “o que mal te fiz eu?” ou o que negócio é esse?” Agora, o site lincado na pergunta (27-12-2016) vai mais longe e diz que “a língua culta não admite perguntas como ‘O que você disse?’” Ou seja desaconselha o que mesmo quando que é pronome substantivo. Pelos vistos isto é, ou foi, uma guerra antiga. Mas nós podemos ignorá-la. Não encontrei nenhum dicionário ou gramática que defendesse esta interdição. Pelo contrário, a Nova Gramática do Português Contemporâneo da parelha luso-brasileira Celso Cunha e Lindley Cintra (Lisboa 2014, p. 441-2) diz:
2. Para dar maior ênfase à pergunta, em lugar de que pronome substantivo, usa-se o que:
O mundo? O que é o mundo, ó meu amor? (Florbela Espanca, S[onetos, 1962], 90.)
[…]
Nenhuma razão assiste aos que condenam a anteposição do o ao que interrogativo, como exaustivamente mostraram Heráclito Graça, em Factos da linguagem. Rio de Janeiro, Livraria de Viúva Azevedo, 1904, p. 367-383; e Said Ali, em Dificuldades da língua portuguesa […] e Gramática histórica da língua portuguesa […]
Que é que
Finalmente, podemos também acrescentar um é que expressivo à questão, dando o “o que é que você está fazendo?” Como diz também a Nova Gramática (p. 442):
3. Tanto uma como outra forma [que e o que] pode ser reforçada por é que:
—Que é que o senhor está fazendo? gritou-lhe. (Clarice Lispector, [A maçã no escuro], 313.)
O que é que eu vejo, nestas tardes tristes? (Teixeira de Pascoaes, [Obras completas] III, 24.)
Este é que já foi abordado nesta pergunta. É um mero elemento expressivo, e não tem nada de especialmente culto. Em Portugal, especialmente na linguagem coloquial, ouvirás muito mais o que é que estás a fazer? do que simplesmente o que estás a fazer? Já reparei que no Brasil o seu uso não é tão comum como em Portugal, embora, como em tantas outras coisas possa haver diferenças regionais: o Corpus do Português regista um quantidade impressionante de o que é que na imprensa do Recife.
