A palavra [que] é realmente um curinga da Língua Portuguesa, pois pode ser usada em várias situações e com várias funções: pronome, conjunção, substantivo, advérbio, preposição, etc.
Nesse caso usaria [que]. Está antes de um verbo e conseguimos substituir por "qual coisa" como você diz. Aqui tem um exemplo semelhante. Diz que emprega-se [que] "quando se consegue substituir por 'o qual' ou 'a qual': o hotel, que consideram o melhor, é um paraíso". O Dicionário Aulete diz que "antes de um verbo, podem ocorrer 'que' ou 'o que', sendo este último o mais usado".
Já [quê] empregado-se no caso de substantivo, pronome interrogativo, interjeição ou expressão interrogativa, como descreve o Dicionário Priberam da Língua Portuguesa:
quê
(latim quem)
substantivo masculino
1. Dificuldade, complicação (ex.: ainda há uns quês por resolver).
2. Alguma coisa (ex.: acho que isto tem um quê de subversão).
pronome interrogativo
3. Expressão usada para questionar o que foi dito anteriormente ou como pedido de repetição do que foi dito (ex.: Quê? Não percebi...). = COMO, O QUÊ
interjeição
4. Expressão usada, com .entonação interrogativa, para indicar espanto ou contrariedade (ex.: Quê?! Ainda não acabou?). = O QUÊ
"que", in Dicionário Priberam da Língua Portuguesa [em linha], 2008-2013, https://www.priberam.pt/DLPO/que [consultado em 30-04-2016].
O seu [que] não tem essas funções. Parece ter a função de conjunção, e não leva acento.
quê
quando este vier seguindo um artigo definido e indicar "alguma coisa". ex: O quê é isso?". Também soa melhor em frases exclamativas coloquiais que aceitariam dois "que". Ex: *O quê que é isso?!"