Os dois verbos são muito ricos em sentidos, mas acredito que brincar seja mais amplo do que jogar. Jogar pode ser uma forma de brincar. Exemplo: as crianças estão brincando no vídeo-game; quando eu era criança brincava muito de futebol. Esses jogos são brincadeiras também.
Posso, entretanto, brincar de carrinho ou de boneca - no caso das meninas. São brincadeiras e não jogos. Quando falamos brincar lembramos das crianças, pois elas brincam o tempo todo.
Brincar também é empregado como sarcasmo ou zueira. Exemplo: "eu não estava brincando com você cara, não é nada disso"; "você está de brincadeira!"; "para de ficar me zuando, meu!".
Também quando estamos nos distraindo com algo é uma forma de brincadeira. Exemplo: "gosto de brincar com o meu cachorro quando chego em casa"; "você não para de brincar com o chaveiro"; "quando eu era criança brincava de carrinho de rolimã".
O dicionário Aulete (http://www.aulete.com.br/brincar) traz as seguintes definições para o verbo brincar:
(brin.car)
v.
1. Entreter-se com um objeto ou uma atividade qualquer [int. : As crianças brincam o dia todo.] [tr. + com : Ela brinca com as bonecas da irmã.]
2. Distrair-se com jogos de criança, representanto ou simulando alguma coisa ou ação. [tr. + de : Brinca r de polícia e ladrão]
3. Agitar ou manipular por entretenimento. [tr. + com : Enquanto esperava, brincava com o chaveiro, distraído.]
4. Não levar em consideração; ZOMBAR [tr. + com : Não brinque com coisas sérias!]
5. Gracejar [tr. + com : Evita brincar com o colega, pois sabe que ele fica sem graça.] [int. : Não me leve a sério, eu estava brincando.: "Por que acreditariam em mim, brincou."(FolhaSP, 22.01.99)" ( ]
6. Agitar-se com movimentos graciosos [int. : Os galhos das árvores brincavam ao vento.]
7. Tomar parte em (folguedos carnavalescos) [td. : brincar o carnaval.] [int. : Vestida de colombina, ela brincou a noite inteira.]
8. Aproveitar, desfrutar [td. : Brinquei minha infância no interior de Minas]
9. Bras. Ter relação libidinosa com [tr. + com : Gostava de brincar com sua garota no sofá]
10. Fig. Oscilar, tremer [int. : Uma gota de chuva brincava na ponta da folha]
11. Fig. Exibir-se, mostrar-se [int. : Um sorriso contido brinca nos lábios da Monalisa]
12. Tratar, levar de maneira imprudente, leviana [ti. + com : Quem brinca com a vida acaba se dando mal]
13. Manipular (algo) sem o devido cuidado [tr. + com : Não brinque com fogo, pode ser perigoso.]
Para o verbo jogar o mesmo dicionário (http://www.aulete.com.br/jogar) traz as seguintes definições:
(jo.gar)
v.
1. Participar de jogo ou partida (de); praticar (jogo ou esporte), profissionalmente ou como entretenimento. [td. : jogar tênis/ gamão/ batalha naval.] [int. : Brasil e Argentina jogam esta noite: Leia as instruções para saber como jogar.] [tr. + contra : O Brasil jogou contra o Peru.] [ta. : O zagueiro jogou mal ontem.]
2. Participar de (jogos de azar), ger. apresentando um comportamento viciado. [td. : Não passa uma noite sem jogar pôquer.] [int. : Fica o dia inteiro nesse bar bebendo e jogando: Não conseguia parar de jogar.]
3. Fazer apostas ou ter o vício de apostar (em jogos de azar). [tr. + em : Jogava na roleta e nos cavalos.]
4. Fig. Aventurar, arriscar temerariamente, expor à sorte (dinheiro, bens etc.). [tdr. + em : Jogou todas as suas economias no mercado de ações: Jogou seu bom nome num negócio moralmente discutível: Decidiu jogar suas fichas no 25.]
5. Atirar, arremessar. [td. : jogar lanças/ pedras.] [tda. : Quando o dente de leite caiu, jogou -o no telhado.]
6. Empurrar (algo ou alguém), ou saltar, pular, lançar-se. [ti. + a : Jogara o carrinho ladeira abaixo: Foi suicídio, ninguém o jogara da cobertura: Jogou -se no mar.]
7. Manejar com destreza ou conforme as regras. [td. : Jogava a espada como um autêntico esgrimista: jogar as armas/ o florete.]
8. Balançar, como aceno ou coreografia. [td. : Jogava os braços para o alto, pedindo socorro: A passista seguia o batuque jogando as cadeiras.]
9. Balançar-se, agitar-se, oscilar. [int. : O barco jogou muito na viagem de volta: "Negros fantasmas, indistintos, sem forma ondulam, jogam..." ( Brás de Oliveira , Narrativas navais) ]
10. Ter como escolha; optar por; investir. [tr. + em : Para atingir um novo público, a empresa jogou nas tendências europeias.]
11. Dar destaque a; servir-se de. [tr. + com : Esse quarteto de percussionistas joga muito com o ritmo.]
12. Utilizar ou combinar (ger. com propósito artístico). [tr. + com : Era um pintor que jogava bem com as cores vivas e as sombras]
13. Estar em harmonia; combinar-se; condizer. [tr. + com : A cor das paredes não jogava bem com a mobília.]
14. Funcionar, mover-se. [int. : As molas jogam bem.]
[F.: Do lat. joco, as, avi, atum, are. Hom./Par.: jogue (s) (fl.), jogue (s) (a2g.s2g.[pl.]); jogo (fl.), jogo (sm.); joga (s) (fl.), joga (s) (sf.[pl.]); jogar, jugar (em várias fl.).]
Observamos nessas definições que o verbo jogar aparece mais nos sentido de jogo (game), jogos de azar, esportes ou de arremessar (lançar algo a algum lugar). Pode ser empregado também no sentido enganação. Exemplo: ela está jogando com você. Ou seja, ela está lhe enganando.
No texto que você propõe não é correto substituir jogar por brincar.