Os dois significados estão corretos, e não são específicos de um país ou do outro. Por exemplo em fazer no Michaelis, um dicionário brasileiro, temos:
15 impess Ter decorrido; haver, completar-se (falando do tempo): Faz nove dias que cheguei. [...] Fazer anos: ver passar o seu aniversário natalício.
O dicionário da Academia das Ciências de Lisboa tem em fazer:
27. Ter decorrido certo tempo. Faz duas horas que estou aqui à espera. Fez ontem oito dias que ele esteve cá. [...] fazer anos, comemorar o aniversário.
E para que ninguém fique a pensar que isto é só coisa de dicionários, vamos a umas citações. Fazer anos em autores brasileiros:
Infelizmente a tua afilhada continua sem rumo. Já fez trinta anos, e parece ter vinte. (Josué Montello, A Última Convidada, 1989.)
Era um filho que ali estava, que fez dez anos, fez onze, fez doze, crescendo em altura e graça. (Machado de Assis, Memórias de Aires, 1908.)
Fazer tempo em publicações e autores portugueses:
O filho, Rajiv, estava em campanha para recuperar o poder quando foi morto por uma bombista suicida, faz hoje quatro anos, em 20 de Maio de 1991. (Jornal O Público, 1995.)
[...] que era dia de tristeza em casa, por fazer dezassete anos que morrera o mano Manuel. (Eça de Queiroz, Os Maias, 1888.)
Lembre-se que assaltaram e roubaram um marchante de Colos, aqui bem perto, faz agora um mês. (Manuel da Fonseca, «A Testemunha», O Fogo e as Cinza, 1953.)
Onde parece haver uma diferença é que faz tempo para indicar a passagem de um período indeterminado de tempo é relativamente frequente no Brasil mas muito raro em Portugal. As expressões mais ou menos equivalentes há tempos, há muito tempo, há algum tempo, são usadas no dois países.
Então Mãe Cândida disse, sem uma lágrima: ― já faz tempo que eu sabia. (Dinah Silveira de Queiroz, A Muralha, 1954.)
Era exatamente uma escadinha assim que ele vinha procurando há tempos para tapar a buraqueira do teto de seu rancho. (Paulo de Carvalho-Neto, Suomi, 1986.)
A tabela abaixo mostra a frequência destas expressões no CENTEMPúblico, corpus do jornal português O Público e em textos portugueses e brasileitos do século XX neste Corpus do Português. Agora, faz tempo com este significado, lá por ser incomum, não deixa de ser válido mesmo em Portugal.
CENTEMPúblico Corpus do Português
Portugal Portugal Brasil
Faz tempo 2 0 22
Há tempos 79 48 56
Há muito tempo 452 188 176
Há algum tempo 299 52 58