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O verbo poder tem formas verbais em que a raiz é po e outras em que a raiz é pu. Por exemplo: "se eu puder sair mais cedo, tu podes fechar a porta". Há alguma regra que determine quando usar po e quando usar pu?

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Estou a assumir que a tua questão é sobre como se escrevem as formas. As formas que se escrevem com "o" são, sem exceção, também lidas /u/ se o "o" não fizer parte da sílaba tónica.

De resto, as irregularidades de "poder" são:

  • uma forma irregular no presente do indicativo: eu posso (lido com "o" aberto) e não *eu podo (com "o" fechado)
  • um pretérito perfeito bastante irregular: pude / pudeste / pôde / pudemos / pudestes / puderam.
    • O "e", sempre que não final, é lido aberto e não fechado (compara com "comer", por exemplo).
    • A raiz é lida /u/ (até aqui é regular), mas escreve-se com "u" e não com "o" para distinguir do presente (compara "podemos" com "pudemos", ambos lidos /u/, só diferem no som do "e")
    • A exceção ao ponto anterior é a 3a pessoa do singular: ele pôde e não *ele pudeu.
    • A 1a pessoa do singular tem uma irregularidade extra: para além de trocar "o" por "u", a desinência é "-e", não "-i".

Em consequência, os tempos derivados destes dois também são irregulares. Derivados do pretérito perfeito (também sempre lidos com "e" aberto):

  • O mais-que-perfeito: pudera / puderas / pudera / pudéramos / pudéreis / puderam.
  • O imperfeito do subjuntivo: pudesse / pudesses / pudesse / pudéssemos / pudésseis / pudessem.
  • O futuro do subjuntivo: puder / puderes / puder / pudermos / puderdes / puderem

Já o presente do subjuntivo é formado a partir do radical da 1a pessoa do presente do indicativo. Isto é uma regra geral, não exclusiva do verbo poder, que só não é observada por haver, ser, estar, dar, ir, querer e saber (e derivados). Temos portanto para este tempo: possa / possas / possa / possamos / possais / possam.

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Não conheço nenhuma regra, mas sei que a forma "pu..." é usada no Pretérito Perfeito e no Mais-que-perfeito do indicativo, no Imperfeito e no Futuro do Subjuntivo. Em todos os outros tempos verbais usa-se "po..."

  • eu pude, tu pudeste, ele pôde, nós...
  • eu pudera, tu puderas, ele pudera, nós...
  • se eu pudesse, se tu pudesses, se ele pudesse, se nós...
  • quando/se eu puder, quando/se tu puderes, quando/se ele puder, quando/se nós...

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