Isto é apenas para complementar a resposta do Artefacto. O dicionário Huaiss (Lisboa, 2002) confirma que as construções dos vários exemplos apresentados na pergunta estão em uso no Brasil, mas acrescenta que a construção esquecer de (do exemplo esqueci de dizer) é condenada por alguns gramáticos; Citando do verbete esquecer (negrito meu):
[…] a construção esquecer de (algo ou de fazer algo) é comum na língua falada coloquial brasileira e também muito usada na literatura escrita, embora alguns gramáticos a condenem (p.ex.: esqueci do seu livro; esqueci de comprar os bilhetes)
A Nova Gramática do Português Contemporâneo de Celso Cunha e Lindley Cintra (Lisboa, 2014) concorda e apresenta o assunto de forma mais sistemática. Basicamente, o verbo esquecer tem atualmente três regências transitivas em uso corrente no Brasil. Usando os exemplos dos autores:
(a) Esqueci os deveres religiosos
(b) Esqueci-me dos deveres religiosos
(c) Esqueci dos deveres religiosos
Nestes exemplos o objeto do verbo é, para maior clareza das diferenças entre as regências, uma expressão nominal (os deveres religiosos), mas o objeto pode ser também uma oração subordinada substantiva finita (que tenho deveres) ou infinita (cumprir os deveres), que é o que encontramos nos primeiros exemplos da pergunta.
Eu esqueci de dizer e eu me esqueci de dizer seguem respetivamente as regências (c) e (b). A regência (c), esquecer de, é segundo Cunha e Cintra (p. 652) muito frequentemente usada com orações infinitivas deste tipo.
Eu me esqueci que tinha prometido ir, podendo não parecer à primeira vista, segue a regência (b). O que acontece é que nestes casos—não só com o verbo esquecer, mas com muitos outros também—a preposição é opcional e é frequentemente omitida; mas “ressuscita” obrigatoriamente quando a oração é substituída por uma expressão nominal:
Eu me esqueci (de) que tinha prometido ir ao encontro
Eu me esqueci da minha promessa/disso
A Nova Gramática (p. 652) nota isso mesmo, que “não é raro na língua atual o tipo sintático esquecer que, com elipse da preposição. Na minha experiência pessoal, aqui em Portugal, esta preposição é quase sempre omitida na linguagem não formal.
Eu esqueci que tinha prometido ir pode em abstrato ser vista como seguindo a regência (a) ou a regência (c) com a elipse da preposição comum nestes casos.
As regências (a) e (b)—esquecer e esquecer-se de—são as tradicionais, e em Portugal são as únicas em uso corrente. Segundo a Nova Gramática (p. 652) a regência (c), esquecer de, resultou do cruzamento das outras e acrescentam:
Tal construção, considerada viciosa pelos gramáticos, mas muito frequente no colóquio brasileiro, já se vem insinuando na linguagem literária, principalmente quando o complemento de esquecer é um infinitivo. Sirvam de exemplo estes passos:
Guma esquece de tudo, e se deixa ir no doce acalanto dessa toada tão bela. (Jorge Amado, [Mar Morto,] 55.)
Ah, sim, esqueci de confessar quando a vi. (Nélida Piñon, [Sala de Armas,] 155.)
Nem o Houaiss nem Cunha e Cintra nomeiam os gramáticos críticos, mas a posição destes é a que aparece em tudo quanto é site brasileiro de como falar bom português, como Guia do Estudante, Recanto das Letras, Dicas de Português, Linguativa ou este Learn Portuguese no YouTube. Isto é provavelmente uma coisa a ter em atenção nos concursos e exames oficiais.
Também a regência (a) já foi condenado como galicismo por puristas (Houaiss), mas já há quase duzentos anos Fr. Francisco de São Luiz (Glossario..., 1827, p. 55) demostrou a ignorância de um desses puristas, que supunha “que em bom portuguez sómente se póde dizer esqueci-me da lição, ou esqueceo-me a lição, e não esqueci a lição. É que esta construção já era usada por Camões e outros clássicos.
Desta outra construção mencionada por Fr. São Luiz—“esqueceu-me a lição”—diz o Houaiss que é hoje pouco usada e própria da linguagem formal. Construções deste tipo não me soam estranhas, mas, em sintonia com o que observa o Artefacto, eu associo-as não à linguagem formal, mas à popular; a única memória concreta que tenho dela é um aforismo que o meu pai costumava dizer:
Há coisas que esquecem muito a quem não sabe.
Pronomes reflexos vs. pronomes inerentes. Palavra por palavra, eu me esqueci traduz-se para I forgot myself, mas o pronome átono aqui não tem função reflexa (não indica que a ação recai sobre o próprio sujeito), é antes inerente ao verbo. Existem muitos verbos destes em português, como arrepender-se, rir-se, etc (ver esta pergunta sobre arrepender-se). Podemos distinguir as duas funções do pronome, vendo que este pode ser reforçado com a mim/ti/si mesmo no caso da função reflexa (vesti-me a mim mesmo) mas não na função inerente: não se pode dizer esqueci-me a mim mesmo da lição. Se quisermos dizer que uma pessoa se esquece a ela mesma, a forma mais usual é com o modelo (b) (imagino que também com (c) no Brasil):
Um altruísta, que se esquece de si mesmo e só pensa nos outros.
Usos dos vários modelos. O Artefacto tem uma nota sobre isto, e eu tenho uma resposta relativamente desenvolvida a esta pergunta sobre esse assunto.