Esta frase não me soa bem, mas não consigo explicar porquê. Eu diria:
Estas são as primeiras perguntas que temos que fazer a nós próprios.
A seguinte também não me parece possível:
*Estas são as primeiras perguntas que temos que fazer-nos a nós próprios.
Por outro lado, se não for reflexivo:
Estas são as primeiras perguntas que eles têm de fazer-nos.
Com outros verbos, não vejo nenhum problema:
A primeira coisa que temos de fazer é lavar-nos.
A primeira coisa que fizemos foi destruir-nos a nós mesmos.
Nestas construções, o pronome reflexo nos é mesmo obrigatório; a seguinte frase não é possível:
*A primeira coisa que fizemos foi destruir a nós mesmos.
A minha intuição está correta? Porque é que não posso usar o nos (ou pelo menos não devo) neste caso, quando noutras circunstâncias é obrigatório?
P.S.: preferia não entrar numa discussão ênclise vs. próclise; o leitor pode substituir mentalmente "fazer-nos" por "nos fazer" se preferir.