Logotipo e logo
"Logótipo" ou "logotipo" (leia a nota abaixo) e "logo" são a mesma coisa, sendo "logo" nada mais do que a abreviação.
Logomarca
"Logomarca" só aparece uma vez no corpus "CRPC Portugal only" e nenhuma no CETEMPúblico, enquanto que no Corpus do Português ela aparece seis vezes, todas de origem brasileira, e é notável que essa palavra é mais conhecida pelos brasileiros do que pelos portugueses, ou até mesmo inexistente, como é dito pelo Artefacto abaixo.
Pelos usos e pela definição no dicionário, parece ser exatamente o mesmo que logotipo. Porém, essa palavra já foi assunto pra muita discussão se seria correto ou não o uso dela. Já outros consideram essa discussão vã, que de fato o é, até porque a palavra é oficialmente reconhecida pela Academia Brasileira de Letras, e segundo as definições dos dicionários, são praticamente a mesma coisa, apesar de não os terem como sinônimos, e seu uso ser no mínimo desencorajado por muitos.
Marca
Já "marca" dificilmente se refere exclusivamente ao logótipo, e na verdade é um termo que inclui nome, logótipo e outras coisas que os consumidores associam a determinados produtos. Corresponde mais ao inglês brand.
Nota: "Logotipo" é a forma mais usada na oralidade, porém "logótipo" é considerado o mais correto, embora incomum, como é explicado neste artigo.