Caractere no Brasil e carater ou caracter em Portugal designam qualquer sinal usado na escrita, como letra, algarismo, sinal de pontuação, etc.
O que muita gente não sabe é que caráter (em Portugal também carácter) também tem este significado, para além dos outros mais conhecidos, ‘índolo, qualidades distintivas de pessoa ou coisa’, etc. (ver Michaelis e também esta pergunta). Caráter é aliás a palavra original. Desde 1712 que os dicionários de português atribuem a caráter todos os significados básicos que a palavra tem hoje, incluindo ‘sinal gráfico’. Estes chegaram até nós já do grego, via latim. Citando o dicionário Houaiss (Lisboa 2001, grafia anterior ao AO90):
carácter s.m. (sXIV cf. IVPM) 1 sinal (letra, número, sinal de pontuação etc.) ou figura us. na escrita […] ETIM gr. kharaktḗr,êros ‘o que grava, sinal gravado, marca, traço particular do rosto, natureza particular de alguém, marca de estilo’, através do lat. charācter,ēris, aproximadamente com os mesmos sentidos e cuja f. permanece na transmissão do cultismo para as línguas modernas de cultura; ver caracter-; f.hist. sXIV carautala, sXV carater, sXV carautolla ‘sinal gravado’, sXVII caracter ‘cunho, traço característico’
No inglês (character, Merriam-Webster), castelhano (carácter, Real Academia Española) e francês (caractere, Larousse) continua a existir uma só palavra com todos os sentidos.
Então uma pergunta é: quando é que surgiram as variantes caractere e carater/caracter? A edição portuguesa de 2003 do dicionário Houaiss (que creio ser na substância igual à edição brasileira de 2001) é o primeiro dicionário que eu conheço que traz caractere e carácter, que classifica como formas menos corretas de carácter. Obviamente as palavras já vinham de antes. Foi ainda antes de 1990, nos meus tempos de estudante, que eu aprendi que caráter também significava ‘sinal gráfico’; antes pensava que só carater tinha esse significado.
Quanto ao como do surgimento da palavra, diz Helena Figueira na FLiP (2004) que as variantes se formaram a partir do plural. O plural de caráter é irregular, caracteres (em Portugal também carateres). Reproduzo explicação, mas se conseguirem acrescentar pormenores, eu agradeço:
A palavra caracter ou caractere tem muitas ocorrências, mas é ainda considerada uma forma desaconselhada no português de Portugal. Qualquer destas formas surgiu por dedução a partir do plural irregular, isto é, nos contextos de carácter em que a palavra aparece mais frequentemente no plural (por exemplo, os caracteres tipográficos, os caracteres de um texto, digitar caracteres), os falantes fizeram a regularização, por hipercorrecção, do singular a partir do plural irregular, retirando a terminação do plural (-es ou -s) e mantendo a acentuação tónica do plural (caracter[es] ou caractere[s]).
Nota para quem for vasculhar textos antigos. Na escrita, a variante caractere distingue-se bem do original por causa do e final. A variante carater distingue-se na fala por causa da sílaba tónica, mas na escrita distingue-se só pelo acento gráfico. Ora o acento gráfico de caráter foi introduzido oficialmente só em 1911 em Portugal e 1943 no Brasil. Mesmo em Portugal, muita gente continuou a escrever à antiga depois de 1911. Portanto a forma carater ou caracter, ou ainda character, até às primeiras décadas do século XX, pode representar palavras com acento tónico no ra, a caráter/carácter atual. Para tirar dúvidas é preciso ver como é que no mesmo texto aparecem outras palavras: se escritas à moderna—cadáver, rápido, câmara, útil, ciência—ou à antiga sem acentos—cadaver, rapido, camara, util, sciencia/ciencia, etc.